Continuación de Vectores en R3

¿Qué es la adición de vectores y cómo se grafica?

 La adición de vectores es simplemente el hecho de sumar los vectores para formar un triángulo, ¿por qué un triángulo? Porque para graficarlo se necesitan dos vectores en el plano para poder sumarlos entre sí, más el resultante entre ambos.

Graficar el Vector A+B

Se tienen las siguientes coordenadas:

 
 A=(2, 4, 3)     B=(4,-5, 5)

Una vez hecho esto, se realiza la siguiente fórmula:

A+B= [(X₁+X₂), (Y₁+Y₂), (Z₁+Z₂)]

A+B= [(2+4), (4+(-5)), (3+5)]

A+B= [6, (4-5), 8]

A+B= 6, -1, 8

Ubicamos las coordenadas en el plano.

Una vez realizado esto, paralelamente ubicaremos los vectores de la siguiente forma:

¿Cómo se representa geométricamente el vector suma y resta?

Cuando se suman 2 vectores libres se genera otro vector libre que está determinado por lo siguiente:

Se coloca el punto en donde se aplicará uno de ellos sobre el extremo del otro.

El vector suma es el que resulta del origen de uno y llega al extremo del otro.

Al restar el proceso es similar, solo que el vector resta se origina en un extremo y llega a un extremo:

¿Qué es sustracción de vectores y cómo se grafica?

Es el simple hecho de restar las coordenadas de los vectores para formar nuevas coordenadas. En la sustracción se emplea la misma fórmula que para la adicción pero con signos negativos.

A-B= [(X₁-X₂), (Y₁-Y₂), (Z₁-Z₂)]

A-B= [(2-4), (4-(-5)), (3-5)]

A-B= [(-2), (9), (-2)]

Luego de este procedimiento, ubicamos las coordenadas en el plano.

Luego procedemos recrear un triángulo.

¿Cómo se calcula la dirección y el sentido en R3?

Primero se necesita un módulo y unas coordenadas, las cuales serán:

A= 3, 7, 5            

El módulo se calcula con la siguiente fórmula:

A=√(x₂-x₁)²+ (y₂-y₁)²+ (z₂-z₁)²

A=√ (3-0)²+ (7-0)²+ (5-0)²

A=√ (3)² + (7)² + (5)²

A=√9+49+25

A=√79

A=8.88

Una vez hecho esto, procedemos a calcular la dirección.

Entonces tenemos que Ux representará las coordenadas correspondientes al vector X, y |U| es el módulo que calculamos, y así sucesivamente.

El sentido se calcula con las siguientes fórmulas:

Y al calcular procedemos según sea el vector correspondiente, con el resultado del cálculo de la dirección.

Y de esa forma se calcula el sentido y la dirección en los vectores en R3.

Y ahora un vídeo para explicarlo de forma mas clara.

Vectores en R3

¿Que es R^3?: la R se utiliza para representar el espacio dimensional, por eso si es R¹ se sobre entiende que en el espacio se representa una sola dimensión, si es R² se sobre entiende que el o los objetos se representaran en dos dimensiones (X y Y), y por último si es R³ se representa en 3 dimensiones (X, Y,  Z).

¿Que es un vector?: un vector es una recta la cual está conformada por un punto de origen, punto de llegada, dirección, un sentido(flecha) , que es hacia a donde se dirige, y una longitud. Esto es frecuentemente utilizado para graficar por ejemplo en un Plano Cartesiano que sería un vector en R², y sirve para ubicar coordenadas. 

¿Que son vectores en R^{3 ?}: son tres vectores que se interceptan desde su origen y son perpendiculares, y se utiliza para graficar y/o ubicar objetos en el espacio, a diferencia de los vectores en R2 que sirven para graficar y/o ubicar un objeto en el plano (dos dimensiones).

Componentes de un vector en R³: está compuesto por tres vectores (X, Y, Z), los cuales representan 3 dimensiones, estos vectores son perpendiculares entre sí, permitiendo graficar y/o ubicar un objeto en el espacio tridimensionalmente.

 ¿Cómo se grafica en  R³?: primeramente se obtienen las coordenadas, utilizaremos como ejemplo  (2, 4, 3), donde X=2, Y=4, Z=3, estas serán sus longitudes. Luego se trazan tres líneas que representarán cada vector.

Luego se ubican los puntos en el plano.

Y por último se unen los puntos paralelamente.

Octantes de un vector en R³

¿Para que sirven los vectores en R^3? : en la actualidad tiene múltiples usos, uno de ellos es en la elaboración de piezas mecánicas en las cuales se requiere de una perspectiva completa de la pieza mecánica, cuando se recrea una imagen del exterior de una edificación, y en resumen piezas, objetos y materiales sencillos que requieran una vista completa de todos sus lados. Todo nuestro entorno, si aplicamos el concepto de vectores, está influenciado por los mismos, por ejemplo al ver un avión despegar podemos observar como se desplaza a través de los ejes, al observar un automóvil, y en general lo que nos rodea.

En resumen la utilidad que nos brinda el estudio de los vectores en R³ es muy importante debido a que podemos graficar y ubicar objetos en un espacio tridimensional, en donde el objeto a graficar posee ocho lados, y  nos da una visión completa a cerca del objeto. Ademas, nosotros coexistimos en un espacio tridimensional, por ello es necesario aplicar conceptos matemáticos  en nuestra vida diaria para comprender nuestro entorno